\section{Fehlerminimierung}
\begin{frame} 
\frametitle{Fehlerminimierung}
\centering
\includegraphics{Bilder/fehlerdiagramm1.pdf}\\
Fehler und Wert des Koeffizienten hängen unmittelbar zusammen.\\
Um das Minimum zu finden wird die Ableitung 0 gesetzt.
\begin{block}{Fehlergradient}
\begin{equation}
\bigtriangledown_k \stackrel{\land}= \frac{\delta \xi}{\delta W} \nonumber
\end{equation}
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame} 
\frametitle{Quasi-Newton-Verfahren}
% \begin{equation}
% \bigtriangledown_k \stackrel{\land}= \frac{\delta \xi}{\delta W} \nonumber
% \end{equation}

\begin{equation} 
W_{k+1} = W_k - \mu R^{-1} \bigtriangledown_k \nonumber
\label{eq:newtonmethod}
\end{equation}

\begin{itemize}
  \item sehr schnell, oft nur mit einem Schritt im Minimum
  \item $\mu$ ist ein Skalierungsfaktor um die Schrittweite anzupassen
  \item $R$ ist der quadrierte Eingangsvektor: $X_kX_k^T$ 
  \item Durch die hohe Geschwindigkeit kann Rauschen erzeugt werden.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} 
\frametitle{Steepest Descent}

\begin{equation} 
W_{k+1}=W_k+ \mu(-\bigtriangledown_k) \nonumber
\end{equation}

\begin{itemize}
  \item $\mu$: Skalierungsfaktor für die Schrittweite
  \item Folgt dem Gradienten der Fehlermatrix $\xi$, d.h. er kann eine sehr genaue Lösung finden
  \item Algorithmus ist sehr langsam
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} 
\frametitle{LSM Least-Mean-Square}

\begin{equation}
W_{k+1} = W_k + 2 \mu \epsilon_k X_k \nonumber
\label{eq:lsm}
\end{equation}

\begin{itemize}
  \item Verwendet wird der Gradient $\hat{\bigtriangledown}_k$ des Fehlers $\epsilon_k$ und nicht $\xi$
  \item $\mu$: Skalierungsfaktor für die Schrittweite
  \item einfacher Algorithmus, optimal für DSP's
\end{itemize}
\end{frame}
